Hosting por dinahosting ¿Por qué unas veces al multiplicar números el resultado aumenta y otras veces no? - Tocamates - matemáticas y creatividad

¿Por qué unas veces al multiplicar números el resultado aumenta y otras veces no? 4


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Montse nos envía una nueva consulta para Aló tocamates: ¿Por qué si multiplicamos “decimales” el resultado es menor?

Estamos ante una de esas situaciones que parecen contrarias a la intuición, por lo menos inesperadas que nos encontramos en matemáticas y que demasiadas veces tienen que ver con malos aprendizajes, reglas que no tienen la suficiente generalidad, mnemotécnias y aprendizajes de memoria. Antes de nada expliquemos a qué se refiere la pregunta para poner a nuestros lectores en contexto:

En los primeros cursos de primaria, con 6 o 7 años, se nos habla de multiplicación como una manera abreviada de sumar. Multiplicar por 8 es como sumar ocho veces*, por ejemplo, multiplicar 5 x 8 = 5 + 5 + … + 5 + 5 (8 veces). Si tengo 6 paquetes de galletas  y en cada paquete hay 4 galletas tendré 6 veces 4 galletas y lo podré resolver como una suma un poco aburrida o como una sofisticada multiplicación… o con algún esquema o modelización del problema:

24 galletas

Nuestro cubitos agrupados en seis “paquetes” de cuatro “galletas” cada uno, de chocolate y chocolate negro.

Así que ya lo tenemos: multiplicar por un número natural** es una forma abreviada de escribir una suma sucesiva de sumandos iguales ¿no?

Pues sí, pero (ya viene el pero, sin conflicto no hay historia) la multiplicación no es solo eso. La multiplicación es también un operador, un proceso que transforma al multiplicando y que lo hace según la razón que indica el multiplicador, este sentido generaliza el anterior.

Multiplicar por dos hace que los números se transformen en su doble (se vuelvan el doble de grandes) y por eso decimos doblar. Da igual que doblemos el número de años a los que está una operación financiera de 5 a 10 años, o que doblemos los céntimos a los que se cotiza una chuche, siempre se transforma en su doble (y por tanto es mayor). Ocurre lo mismo cuando multiplicamos por tres –triplicamos– o por cinco. Pasaría igual si multiplicásemos por un decimal “grande” como 5,8 o 35,73. Quien tenga dudas puede probar a multiplicar 8 por 1,25 por ejemplo.

Sin embargo, si multiplicamos por 0,5 -que es la mitad de uno o un medio- transformamos al multiplicando en su mitad. La multiplicación 20 x 0,5 da como resultado 10, su mitad (alguno podría decir que es poner 20 media vez pero eso está cogido por los pelos). Si multiplicamos 8 por 0,75 resulta 6, porque 6 son las tres cuartas partes de 8 (0,75 es el numero decimal que resulta de dividir tres entre cuatro).

Más pequeño aún se hará un número que sea pequeño al multiplicarlo por un decimal pequeño. Por ejemplo si calculamos la décima parte de 0,20 (imáginemos un modelo manipulativo: 20 céntimos). Calcular la décima parte de algo es como multiplicar por 0,1. El resultado es 0,02 (o sea 2 céntimos). Debe observarse que se hace menor pero en la misma proporción o razón que cuando multiplicamos 20 por 0,1 (= 2) de ahí la relación entre números decimales, fracciones y proporciones que quedan para otra entrada.

¿Dónde dejan de crecer las multiplicaciones y empiezan a decrecer?

Los lectores que hayan llegado hasta aquí se habrán hecho esta pregunta. Los que aún no tengan la respuesta les doy esta pista. Si en cada paquete de galletas hay 4 galletas ¿cuántas galletas hay en un paquete?

Apéndice Números decimales y porcentajes

Si queremos calcular el 21% de una cantidad es porque estamos pensando en dividirla en 100 partes y quedarnos con 21 (o que se la quede la Agencia Tributaria si es que estamos pensamos en retenciones o IVA) o sea que estamos hablando de la fracción 21/100 -esto es, el número decimal 0,21- por eso para incrementar 80 en su 21% lo multiplicamos por 0,21 y luego se lo sumamos. Como al total (80€) le añadimos su 0,21 el resultado es el mismo que si multiplicamos 80 x 1,21. Como se ve en la figura. Si quisiéramos rebajar 80 en un 21% al total -al 100% a la fracción 100/100 que es 1- 80 le quitaríamos esa parte 0,21, por eso para calcular una rebaja del 21% el “truco” es multiplicarlo por 0,79.

21

 

No quisiera terminar sin proponer un pequeño reto para los que han estado muy atentos:

¿En cuánto habrá que incrementar una cantidad que previamente se ha rebajado una quinta parte -un 20%- para que vuelva a ser la misma del principio?

*vecestimes en inglés, fois en frances- es como proponemos muchos que se diga esta primera multiplicación, la que van conociendo nuestros alumnos a partir de los 6 o 7 años. Pero esa es otra historia y nos llevaría a hablar del orden en que ponemos los factores de la multiplicación y de las tablas, cosa que podemos encontrar ya escrita en el blog de Pedro Ramos Más ideas, menos cuentas

** Los números naturales son los que se usan para contar 1, 2, 3, 4… el cero también se suele colocar entre los números naturales aunque estrictamente hablando no sirva para contar.

 

Recuerda que puedes enviar tus preguntas a nuestro consultorio como ha hecho Montse.

¡No dejes de tocar las mates!

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Tu comentario:

4 comentarios sobre “¿Por qué unas veces al multiplicar números el resultado aumenta y otras veces no?

  • David Barba
    La respuesta està en la calle (el contexto) 7 lápices a 2€ cuestan 14 euros. 7x2 = 14 7 lápices a un euro cuestan 7€. 7x 1 = 7 7 lápices a cincuenta céntimos cuesta 3 euros y medio. 7x0,5= 3,5. La barrera está en el uno, si el objeto cuesta menos de un euro, el valo final costará menos de siete y por lo tanto será menor
    • tocamates Autor
      Hola Gloria, cuando desarrollamos el cálculo y sus estrategias no hay ningún problema en identificar multiplicaciones y divisiones y decir que una multiplicación por un decimal menor que uno "es una división" es una estrategia de cálculo perfectamente válida para un adulto o un usuario "avanzado". No creo que sea del tipo de estrategias que debamos mostrar de salida a un alumno sino que lo deseable es que lleguen por si mismos a ella. Hay una pequeña confusión en tu cálculo, 0,5=1/2, por lo demás, estoy de acuerdo. Gracias por comentar
  • Sabrina Gonzalez
    hola! hay algo que no logro entender y que generó debate el día de hoy con algunas compañeras, yo planteaba que para obtener el valor con 10% de descuento de un producto había que multiplicarlo 0,9 mientras que una amiga sostenía que lo correcto era dividir por 1,10, los resultados fueron 90 y 90,90 respectivamente (considerando 100 para hacer el calculo mas fácil), la diferencia se hacia aun mas evidente al intentar calcular el 50% de un valor (supongamos 100) por ambos métodos, siendo 50 y 66,67. Lo que no logro descifrar es por qué se produce esta diferencia, si me pudieran ayudar con eso les agradeceria mucho. saludos!