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Puntitos y Triángulos 8


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Hola, me llamo Gregorio y yo también asistí a las XVI Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas (JAEM) que se se celebraron en Palma de Mallorca. Allí conocí (¡por fin!) a Joseángel y fruto de eso surgió (además de un montón de chistes malos) esta colaboración. Le pedí a Joseángel que me dejara contar en este blog tan chulo una de las actividades que suelo hacer en 1º de ESO. ¡Y me dijo que sí! Ahora espero que os guste :)
Es una actividad separada en varios días, haciendo varias cosas alrededor de una misma idea; o desarrollando varias ideas alrededor de una misma cosa!

El primer día

El primer día les doy una hoja (aunque pronto piden más hojas, ¡hay que llevar un montón de reserva!) llena de tramas 3×3 puntos como esta:

Y un enunciado:

En cada una de estas figuras tienes que dibujar un triángulo uniendo los puntos. Todos los triángulos tienen que ser distintos. Te recomiendo que uses lápiz por si te equivocas o por si sin querer repites un triángulo que ya tenías. Hay muchos distintos, ¡a ver si los encuentras todos!

Y ya tienes a los alumnos entretenidos un buen rato. Por supuesto, en seguida surgen las dudas… ¿a qué se refiere el profesor con la palabra distinto? Yo me hago el loco, claro, pero ellos van a su bola haciendo triángulos, mirando de reojo lo que hacen los demás a ver si van por buen camino. Rápidamente surgen las primeras “disputas”:
A: ei, esos dos triángulos que has dibujado son iguales.
B: ¿cómo que son iguales?
A: sí, sí, son idénticos, y el profesor ha dicho que encontráramos los que son distintos.
Están hablando de estos dos triángulos:
¿Son iguales? ¿Son distintos? La discusión está servida, y aunque los alumnos me miran con ojos de cordero degollado, pero yo me hago el loco “no sé, yo los veo distintos, ¿no? o a lo mejor son iguales, no sé, ¿vosotros qué decís?”. Y vuelven las disputas, parece que la única manera de arreglar esto va a ser dando argumentos. De repente todo se acaba cuando al alumno A se le ocurre dibujar un triángulo en una hoja y el otro triángulo en otra hoja, y entonces girar la hoja… milagrosamente los dos triángulos se convierten en idénticos a ojos de todos los espectadores. Siempre hay algún alumno que se resiste con un “profeeeeee, ¿pero se vale girar las hojas?” pero al encogerme de hombros descubre que no me voy a poner de parte de nadie y se rinde a la evidencia de que los triángulos son idénticos. Y todos vuelcan de nuevo su atención en continuar encontrando triángulos distintos.
Y todo sigue tranquilo hasta que alguno llega al siguiente dilema:
¿Estos son iguales o qué pasa? En cierta manera son iguales, pero uno es claramente más grande que el otro. A mí como profesor me da igual la conclusión a la que lleguen; se crean grupitos de discusión, unos dicen una cosa y otros dicen otra. A diferencia de los triángulos pequeñitos (donde al final todos convienen en que son iguales) en este caso he tenido grupos en los que se han puesto todos de acuerdo en que son iguales, grupos en los que se han puesto de acuerdo en que son distintos, y grupos en los que no se ponían de acuerdo (y ahí tenía que actuar yo para que siguieran trabajando en la actividad, porque no pasa nada si no están de acuerdo). En cualquier caso, siempre da pie para hablar de figuras semejantes ese año, o quizá el siguiente… en cuanto vean el concepto seguro que se acuerdan de estos dos triangulitos que les trajeron de cabeza un rato.
Y bueno así, sigue la cosa… generándose nuevas discusiones entre los propios alumnos. Una de las más bonitas es la siguiente.
¿Qué pasa con estos? ¿Son iguales o qué pasa? El alumno A de antes está convencido de que son iguales, pero los ha dibujado en hojas distintas como antes, para la “operación giro” pero esta vez no le sale. Hubo un año que un alumno le dio la vuelta a una de las hojas, las apoyó contra la ventana y para sorpresa de todos, ¡los triángulos coincidían! Los alumnos estaban descubriendo ellos solos los giros, las traslaciones ¡y las simetrías especulares! Qué bien me lo pasé ese año :)
Al acabar la clase más o menos todos han encontrado todos los triángulos que hay (querido lector, no te fastidiaré la sorpresa, así que tendrás que buscarlos todos tú solito). Les doy una hoja en blanco a cada uno y les mando faena para casa: Que los pasen a limpio (con regla y esas cosas), que los coloreen, y que les pongan un nombre e intenten explicar por qué les han puesto ese nombre. Esta parte es fascinante, porque les obliga a pensar en cada uno de los triángulos, observar su forma, su tamaño, la orientación elegida y, en definitiva, a vivir esos triángulos. Me he encontrado a lo largo de los años con nombres como “el zorro”, “la tienda de campaña”, “el avión”, “alejandro” (y me intentó explicar porque ese triángulo se parecía a su primo Alejandro!), entre otros.
Segundo día
Al siguiente día todos traen sus
flamantes triángulos, con su imaginativo nombre y después de hablar un rato sobre los nombres, pasamos a la acción con este enunciado:

¿Recuerdas los triángulos que hicimos en la Práctica 1? Ahora los tendremos que colorear con una pintura especial. Imagina que pintar los cuatro recuadros con esta pintura cuesta 16€. ¿Cuánto costaría pintar cada uno de los triángulos que dibujamos en la práctica 1? Fíjate en este ejemplo:

Como los cuatro cuadraditos cuestan 16€ y este triángulo ocupa la mitad del área total, pues pintar este triángulo nos costará 8€.

Y todos manos a la obra. A algunos les cuesta un poco más descubrir de qué va todo esto de pintar el triángulo, pero les explico el ejemplo tranquilamente y lo pillan en seguida y se ponen a trabajar.

En esta actividad se puede observar cómo piensa cada alumno, y cómo cada alumno afronta de maneras distintas la resolución de este problema. En esencia, lo he visto resolver de tres maneras:

  • Este trozo de aquí es como lo que le falta allí hasta rellenar un cuadrado. Les dejo que usen las tijeras para comprobarlo :)
  • Este triángulo de aquí es la mitad de este rectángulo.
  • Y la que funciona más veces, pero la ven menos críos: calcular el área de lo que no está pintado, y restárselo a los 16€.

Cuando alguien descubre la tercera manera, esta se propaga como la pólvora explicándosela unos a otros. Siempre hay el que no quiere líos ya que con su manera ya le sale bien. ¡Y me parece perfecto!

Depende del tiempo disponible, algún año he planteado la cuestión de por qué hay triángulos que, siendo distintos, cuesta el mismo dinero pintarlos. El debate que se genera siempre es entretenido y deja entrever el concepto de área que tiene cada uno.

A veces he querido introducir aquí el Teorema de Pick, aunque nunca he tenido valor… un año caerá, a ver qué opinan los alumnos.

Tercer día

En esta sesión les propongo a los alumnos el problema más abierto de todos. Hay que clasificar los triángulos en varios tipos, ¿qué clasificaciones se os ocurren?

Así, sin más.

Y da mucho juego, ya que unos miden los lados, otros los clasifican según los puntos por los que pasan los triángulos, algunos tienen una visión intuitiva de los ángulos, otros hacen una clasificación tan naive como “los grandes y los pequeños”, he visto de todo, ¡y eso me encanta!

Por cierto, cuando los alumnos intentan medir con la regla la diagonal del cuadrado suelo ponerme un post-it mental para que otro día los alumnos, ellos solos, descubran cuánto mide la diagonal del cuadrado con la calculadora.

Epílogo

Esta actividad en cuatro o cinco sesiones siempre es muy divertida, no necesita extensos conocimientos previos y fomenta diversos conceptos:

  • “ser igual” y “ser distinto” en geometría, y el concepto intuitivo de semejanza.
  • el área como concepto cuantitativo.
  • perímetro, ángulo
  • visión espacial
  • las matemáticas democráticas (entre ellos se convencen con argumentos)

Pero lo más importante, trabajan un mogollón de conceptos matemáticos muy importantes sin preguntarse en ningún momento “¿esto para qué sirve?” y no se lo preguntan porque adquieren los conocimientos en contexto, a su ritmo, ¡y pasándoselo bien!

Lectores y lectoras de tocamates, plantead estas cuestiones a vuestros hijos a ver qué sorpresas os lleváis! 😉

Por cierto, ¿cuántos triángulos distintos os salen a vosotros?

Gregorio Morales.

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Tu comentario:

8 comentarios sobre “Puntitos y Triángulos

  • puntmat
    Si "el de tocamates" empieza a fichar gente estamos perdidos!!!.Me ha gustado el post "del nuevo" un buen fichajeUn par de aportaciones:1.pienso que el uso de geoplanos (en lugar de papel punteado) aporta mucha más versatilidad,ya que las gomas permiten el tanteo experimental. mientras que el papel no: han de pensar primero y dibujar después. El papel sirve, eso si, en este caso para registrar lo conseguido en el geoplano.2. Trabajando en ESO es una gran actividad para acostumbrarlos a procesos de trabajo sistemàtico y de pensamiento exhaustivo. es decir empezado en el vértice superior izquierdo, por ejemplo, agotar posibilidades, pasar al central izquierdo, seguir, eliminar duplicidades y así asegurar que no nos dejamos ninguno.Os adjunto una pàgina en la que aparece (al final de todo) un enlace de unantiguo artículo del Geoplano de Gattegno que recogimos en nuestra pàgina de l'"Espai Jordi Esteve" y que sirve de introducción al mundo de los cuadrilàteros. La actividad es mucho más pautada (eran otros tiempos) pero excelente. http://goo.gl/dmJDc Si entran Gattegno en el blog de PuntMat, encontrarán cosas interesantes sobre este gran "didacta"José Ángel: creo que no estaria mal que de vez en cuando el "binomio Jose Ángel_Gregorio" publicara un chiste malo al principio de un post. Uno por més, por ejemplo, para que la estética de los lectores no se perjudique.David
  • Joseángel Murcia
    Hola David, tienes razón en que el nuevo es un gran fichaje, la pena es que NO es un fichaje, tiene que hacerse su blog (que va a ser muy bueno) y aquí -aunque salga alguna vez- solo está de becario. Así que quedan descartados los chistes malos. Por lo menos en los post -aunque si alguno os animáis en los comentarios, prometo no moderarlos (mucho)-.En lo referente a que los geoplanos deben de usarse previamente al papel pautado estoy totalmente de acuerdo. En el papel hay que pensar antes de dibujar, mientras que en el geoplano piensas con las manos. Creo que lo ideal es tener el geoplano físico (con las limitaciones de disponibilidad, pero en casi todos los centros hay geoplanos ociosos) y luego transferir las ideas al papel. Me parece muy adecuado en todo caso limitar la actividad a geoplanos de 9 puntos. También me parece una muy buena indicación la de hacer trabajo exhaustivo, me la apunto.El artículo que propones me parece que es excelente, me lo guardo.Muchas gracias por tu comentario!
  • Aránzazu Fraile
    Buenos días,Gregorio, te animo a que introduzcas la fórmula de Pick, pues con los niños de 6 de primaria funciona. Funciona en el siguiente sentido: les emociona y entusiasma comprobar una fórmula matemática, cuando mi hija pequeña cursó 6 de primaria su tutora me pidió que fuera a dar algunas sesiones sobre geometría en una línea diferente a la que les planteaba el libro de texto, trabajamos, entre otras cosas, los conceptos de igual y semejante con geoplanos y tramas de papel para reproducir sobre el mismo los objetos que obtenían sobre el geoplano y en último lugar nos iniciamos en la comprobación de la formula, trabajamos áreas y perímetros, e incluso triangulaciones sencillas y por último planteamos el problemas de la superficie de una figura cualquiera sobre el geoplano y aquí entró Pick. Sencillamente les encantó.Un saludo. Arantxa