Cuadrados diferentes en un geoplano 4

¿Cuántos cuadrados diferentes caben en un geoplano 5×5? Es un enunciado conciso pero con cierta ambigüedad. Podría referirse a todos los cuadrados que puedo colocar en un geoplano, pero entonces habría cuadrados repetidos…

El geoplano es un tablero, generalmente de plástico, con «clavos» alrededor de los que se pueden colocar bandas elásticas para hacer figuras. Los clavos pueden estar colocados formando ángulos rectos (geoplano ortométricos) o formando una trama de ángulos de 60º (geoplano isométrico) también los hay circulares. Los de esta entrada son ortométricos.

El geoplano es una herramienta fantástica para hacer geometría, por muchas razones, entre otras porque las figuras que se realizan sobre él son invariantes si giras o mueves el geoplano. Me explico, si hago un rectángulo de base 3 unidades y altura 6 unidades en el geoplano y tu lo ves desde otro ángulo, puede que veas que tiene base 6 y altura 3, pero desde luego es el mismo restángulo. También es perfecto para demostrar que un cuadrado girado 45º sigue siendo un cuadrado (y por tanto sigue siendo un caso muy particular de rombo).

Enunciemos de nuevo nuestro problema:

Encuentra todos los cuadrados distintos que se pueden hacer dentro de un geoplano 5×5.

El geoplano de la foto ya es 5×5, porque cuento los huecos entre los clavos y es lo que debe ser, si contase los clavos saldría que hay 36 comprendidos dentro del cuadrado pero su área esta compuesta de 25 cuadrados de área 1 cuadrado, por lo que tiene lógica que contemos huecos y no clavos. Si te doy un tablero más grande lo primero que harás será tomar una goma grande y delimitar uno que sea 5×5, un cuadrado que nos sirva de ambiente de nuestras operaciones.

Es fácil confundirnos y liarnos a hacer cuadrados dentro de nuestro geoplano, es otro problema preguntarse cuantos cuadrados puedo hacer dentro de un geoplano 5×5, de momento de área 1 te digo que hay 25…

Para terminar con este problema (y toda vez que la solución ilustra esta entrada) está algo muy importante y es que la actividad que realizamos con las manos es fundamental que la transfiramos a papel, yo utilizo papel pautado ortométrico, como este. No se trata meramente de comprobar ni de revisar, es más bien registrar, utilizar símbolos y fórmulas matemáticas, con rigor. Si nos limitamos al juego es posible que lo pasemos bien y que mejore nuestra experiencia matemática -que no es poco- pero también es posible que no aprendemos nada. Nuestros once cuadrados distintos han quedado así de chulos:

Esta actividad con geoplanos la he estado practicando en las jornadas Jaque al Mamut, de la editorial Edelvives, han sido una oportunidad para conocer a maestros de todas partes que tienen ganas de hacer matemáticas de otra forma, también para dar charlas en sitios con bóvedas así de chulas:

Una de las bóvedas del «Salón de actos» del Complejo Cultural San Francisco de Cáceres

Que aunque no tengan trama ortométrica siempre puedes intentar «modelizarla»: Si no tienes geoplano a mano y no te apetece ponerte a clavar clavos en una madera siempre podrás utilizar uno virtual como este (en flash), este otro o los recogidos en PuntMat.

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¡No dejes de tocar las mates!